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  • 作者: tp钱包新版
  • 2024-03-09 21:00:38

【举例子详细分析】BCH码(BCH code) - 知乎

【举例子详细分析】BCH码(BCH code) - 知乎首发于数学瞎想录切换模式写文章登录/注册【举例子详细分析】BCH码(BCH code)胡虎护弧呼规则就是用来被打破的。流体模拟交流群1001290801。在信息论中,BCH codes 是指 Bose–Chaudhuri–Hocquenghem codes,可以用来纠错。BCH码利用了多项式一些很好的性质。本文将从0开始,用详细的例子解释二进制域中的BCH码。二进制域与多项式首先考虑二进制域,即所有每个位的取值只能是0或1。我们可以尝试把二进制数表示为多项式,二进制数中的从左往右第j位,是多项式x^j的系数。例如11011,可以表示成为 1 + x + x^3 + x^4。二进制域的四则运算与我们常见的十进制差不多,但由于在二进制1 + 1 = 2 = 0,所以我们每次计算后相当于模上2。例如计算11*11,在多项式表示就是 (1 + x)*(1 + x) = 1 + 2*x + x^2 = 1 + x^2 。这儿的x的系数2在二进制中等于0。另外很重要的概念就是二进制域中,加等于减,例如 x^2 + 1 = 0 相当于 x^2 = 1 。寻找新的编码方式我们先回顾简单的奇偶校验码和hamming码。简单的奇偶校验码只能检查出错误而不知道具体是哪里出错,而hamming码只能纠正一位错误。因此我们想能不能有一种方法可以纠正多位错误呢?此时,多项式的威力就发挥了出来。假如我们的真正的消息是m(x),然后乘上一个编码多项式p(x),得到m(x)p(x)再将其发送过去。发送过程中会会受到很多干扰,于是多项式被加上错误多项式e(x),而接收者接收者的消息为c(x),就有c(x) = m(x)p(x) + e(x) 接收者怎么知道消息有没错呢?接收者事先就会和发送者商量好p(x),然后就很简单,只要让c(x)除以p(x),如果余项是0,即没有e(x),没有受到干扰,那么商就是m(x),就是正确的消息。如果余项不是零,我们的商就变成了m(x) + e(x)/p(x),无法将真正的消息分离出来。上述方法有个前提,在m(x) + e(x)/p(x),p(x)必须是不可约的本原多项式(primitive polynomials),这样才能让e(x)不被除尽,我们才能意识到有干扰的存在。至于如何寻找素多项式,将在之后说明。纠单个错的例子下面来看个例子。例如我们要发送的消息m(x)是1001,而编码多项式p(x)是1101,于是我们要发送出去的消息就是1100101。假如接收者也接收到了这个消息,用p(x)除后余项是0,没有错误存在,商是1001,就是发送者发送的消息,自然皆大欢喜。但如果发送过程中,有一个位被某种不可抗拒的神秘力量改变了,变成了1100111,接收者同样用p(x)去除,得到了余项1110000,这下不好了,接收者知道出错了。但现在怎么去找出错误多项式e(x)呢?我们知道,这个余项1110000,就是e(x)/p(x)的余项。为了找出e(x),我们可以反过来推。于是制作一张表格表格右侧就是如果出现一位错误,r(x)/p(x)后,e(x)/p(x)的余项。通过寻找余项结果,我们可以快速定位究竟是哪里出错了。当然如果e(x)为0,那么e(x)/p(x)的余项也为0。上面这个方法之所以能奏效,对于所有的可能的错误。是因为右边的每一个余项都不相同,我们才不至于混淆。如果我们把p(x)换成10001会发生什么呢?这里10001不是本原多项式,因为10001可以分解成101乘101。我们可以看到,右侧重复了!假如我们得到余项1000000,我们无法知道e(x)究竟是第一行的1000000还是第五行的0000100。而本原多项式就好在,在所有错误余项e(x)出现前前,e(x)/p(x)的余项不会重复。之后将开始重复,这就是被称为循环(cyclic)码的原因。寻找本原多项式本原多项式是个神器,但哪些是本原多项式呢?首先有一些原则:r次多项式,最高次项x^r的系数必须是1。多项式如果不包含常数项1,就会被x整除。多项式项数不能是偶数的,比如 1 + x + x^2 + x^4 有四项,很容易将其分解为 (1 + x)(1 + x^2) 。每一项的次数也不能都是偶数,否则将每一项次数减半就能得到因子。例如 1 + x^2 + x^4 = (1 + x + x^2)^2 。于是我们很容易找到:按照上述方法还可以继续寻找更多的本原多项式。次数越高数量越多。BCH码但如果想要纠正多个错误呢?此时仅一个编码多项式p(x)就不够了,我们还需要更多的编码多项式来让我们能找出多个错误。这时就轮到BCH码出场了,其编码多项式标准形式是:其中p(x)是本原多项式,而 p_3(x^3),p_5(x^5)… 都是可以被p(x)除余0的多项式。即如果我们要设计一个可以纠正两个错误的编码多项式,就让 Q(x) = p(x)p_3(x) 。要设计一个可以纠正三个错误的编码多项式,就让 Q(x) = p(x)p_3(x)p_5(x) 。现在我们先说如何寻找 p_3(x) 。例如 p(x) = 1 + x + x^4 。我们发现 (x^6 + x^9 + x^12) = 1 + x^3 (mod \space p(x)) ,所以 (1 + x^3 + x^6 + x^9 + x^12) = 0 (mod \space p (x)) 。我们用 x 代替 x^3 ,就得到 p_3(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 。纠正多个错误的例子注:以下计算均是模上了 p(x) = 1 + x + x^4 的在二进制域内的计算。还是和原来一样,假如我们要发生的消息m(x)是11010,选择的本原多项式是 1 + x + x^4 ,那么 p_3(x) = 1+x + x^2 + x^3 + x^4 , p_5(x) = 1 + x + x^2 。编码多项式就是 Q(x) = p(x)p_3(x)p_5(x) = ( 1 + x + x^4 )( 1+x + x^2 + x^3 + x^4 )(1 + x + x^2) = 1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^8 + x^{10} ,表示成二进制是11101100101,再乘上消息m(x)就是100001110110010,就是我们发送的出去的。但现在接收者受到的r(x)却是 101000110110010。然后接收者开始计算:前两项余项不为0,而第三项为0说明接到的只有两处错误。但如何把它们的位置找出来?我们就要用到错误定位多项式( error locator polynomial )了。即:不过这时 e_3 可以认为是无穷小,这样 x^{e_3} 就是0。如果我们能找到这个函数的两个根,我们也就找到了e1和e2。为了解决这个问题,我们得先定义两个函数。两个函数初等对称函数(Elementary symmetric polynomial)s,即满足下列的形式的多项式另定义幂和对称函数( power sum symmetric functions)t,在我们的例子中,可能有三个错误,于是可表示成:重点来了。我们有s与t的关系:计算此时上面的错误定位不等式就可以用s函数来描述:我们知道一些t的结果:再用s和t的关系计算即第一个错误在第三个位,第二个错误在第六个位,没有第三个错误。于是将 101000110110010 修改回来得 100001110110010 ,再除Q(x)就得到了真正的消息m(x) = 11010 。结语BCH码被用于卫星通信,固态硬盘等领域。例如BCH(31,16)码,每组有31个位,其中有效的信息位为16个,汉明距离为7,可以纠正3个位的错误。此时应该使用的本原多项式的最高项次数应该是5,因为 2^5 = 31 + 1 。有时候我们使用可以用BCH纠正k个错误的码,但如果错误不止k个,我们就无法恢复正确的消息。但我们仍然可以恢复一些可能是正确的消息,再逐一排查。参考:http://math.mit.edu/~shor/18.310/BCH.pdfhttp://www-math.mit.edu/~djk/18.310/18.310F04/bch_codes.html编辑于 2020-01-28 23:27信息论编码通信​赞同 211​​58 条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录数学瞎想录用好玩有趣的文字介绍迷人

BCH码(BCH Code) - 知乎

BCH码(BCH Code) - 知乎切换模式写文章登录/注册BCH码(BCH Code)小鱼儿​学习笔记1.BCH码的基本概念和性质BCH码(BCH codes、Bose–Chaudhuri–Hocquenghem codes),是一种在编码理论和纠错码领域广泛研究的编码方法。它属于多级、循环、错误校正、变长数字编码,旨在纠正多个随机错误模式。BCH码是循环码的一种,其定义基于生成多项式 g(x)。在特定的 n 和 k 下,通常从BCH生成多项式表中选择 g(x) 的值。系统编码方式与CRC和循环码相同,并且可以使用相似的通用编码器电路结构。原始狭义BCH码中当m ≥ 3为任意正整数时,存在一个二进制BCH(n,k)码,其具有以下参数:定义在伽罗华域 GF(2^{m}) 上码长:n = 2m - 1(原始BCH码)可纠正的最大错误数: t < (2^{m} -1 )/2 一个码字中的信息比特数:k ≥ n - m*t最小距离:dmin ≥ 2t +1 • 当t=1时得到循环Hamming码 t个错误可纠正的原始BCH码的生成多项式 g(x) 是GF(2)上具有 \alpha, \alpha^2, …...\alpha^{2t} 为其根的最低次多项式(即对于 i= 1,2,…,2t,满足 g( \alpha^{i} ) = 0) 在GF(2)中,根的平方也是根。 对于特定的n、k和t值,通常从现有的BCH生成多项式表中选择g(x)的值。如表1所示(不完整)。Table 1广义的BCH码自行Google2. BCH码的定义相关示例示例1对于(7,4)的BCH码,其生成多项式为: g(x) = (13)_{Octal} = 001011 = x³ + x + 1 。这个码的码长为n=7,即2³ - 1,是在GF(2³)上定义(m=3)根据条件k ≥ n - m*t,4 ≥ 7 - 3t,所以t ≤ (7-4)/3 = 1最小距离满足dmin ≥ 2t + 1 = 3容易地检查出 \alpha 和 \alpha^{2} 是g (x) 的根,即带入g(x) = 0,计算在伽罗华拓展域上,由其原根多项式约束p(x) = 0示例2对于(31,21)的BCH码,其生成多项式为 : g(x) = (3551)_{Octal}= 011101101001 = = x^{10} +x^{9} +x^{8} +x^{6} +x^{5} +x^{3} + 1 这个码的码长为 n= 31 = 2^{5}-1 ,因此 m =5 k ≥ n - m*t , 21≥ 31-5*t , t ≤ (31-21)/5 = 2 dmin≥ 2t+1 = 5\alpha ,\alpha^{2} ,\alpha^{3} ,\alpha^{4} 是g(x)的根3. BCH编码(BCH Encoding)3.1 非系统编码:消息作为一个因素找到作为生成器倍数的多项式的最直接方法是计算某个任意多项式与生成器的乘积。在这种情况下,可以使用消息的符号作为系数来选择任意多项式。c(x) = I(x) * g(x) 作为一个例子,考虑生成多项式 g(x) = (3551)_{Octal}= 011101101001 = x^{10} +x^{9} +x^{8} +x^{6} +x^{5} +x^{3} + 1 选择用于POCSAG等使用的 (31, 21) 二进制 BCH 代码。为了对 21 位消息 {101101110111101111101} 进行编码,我们首先将其表示为多项式 I(x)。然后,计算c(x) = I(x)*g(x)因此,传输的码字是{1100111010010111101011101110101}。所以在纠错以确保码字有效之后,可以重新计算I(x) = c(x)/g(x)。[1]3.2 系统编码:消息作为前缀BCH和CRC有相同方式的系统编码。系统编码是通过以下步骤进行的,以使BCH码字成为码的生成多项式g(x)的倍数:通过将消息I(x)预乘以 x^{n-k} 将 I(x) * x^{n-k} 除以 g(x)(modulo-2),得到余数将余数附加到I(x) * x^{n-k}以形成BCH码字c(x)示例一个 7 位的消息块 I(x) = 0000101 = x^2 + 1 要使用定义在 GF(2^4) 上的 BCH(15,7) 编码,并使用生成多项式 p(x) = x^4 + x + 1 进行编码,找到对应的码字g(x) =(721)x_{Octal}=111010001 = x^{8} +x^{7} +x^{6}+x^{4}+1 • I(x) * x^{n-k} = x^{10}+x^{8} • I(x) * x^{n-k}/g(x)= x^{2}+x +1 余数 x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1 • c(x)=x^{10}+x^{8}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1= 000010100110111 (15 bits) 可以验证 c(\alpha ) =0; c(\alpha^{2}) =0; c(\alpha^{3}) =0; c(\alpha^{4}) =0; 比如 c(\alpha ) =\alpha^{10}+ \alpha^{8}+ \alpha^{5}+ \alpha^{4} + \alpha^{2}+ \alpha+ 1 = (\alpha^{2} +\alpha +1)+(\alpha^{2}+1)+ (\alpha^{2} +\alpha)+ (\alpha+1)+ \alpha^{2} +\alpha+1 =0 4. BCH解码(BCH Decoding)对于代数解码BCH码,通常包括以下一般步骤计算综合值(syndrome)确定误差定位多项式,其根提供了错误位置的指示。有不同的方法来找到定位多项式。这些方法包括 BCH 码的 Peterson 算法、BCH 码的 Berlekamp-Massey 算法,欧几里得算法等。寻找错误定位多项式的根。通常使用 Chien 搜索(Chien search)进行,这是对域中所有元素进行穷举搜索的一种方法。以Peterson 算法为例解码过程中的第一步是检查接收到的码字(按设计为 g(x) 的倍数)是否仍具有 \alpha,\alpha^{2},...,\alpha^{2t} 作为根假设 r(x)= c(x) + e(x) 是接收到的码字(多项式), e(x) 是错误多项式首先检查 r(\alpha^{i})=0 ,对于\alpha,\alpha^{2},...,\alpha^{2t}r(\alpha^{i})=c(\alpha^{i})+e(\alpha^{i})=e(\alpha^{i})=S_{i} 所以计算 S_{i}=r(\alpha^{i}) , i=1,2,...,2t 对BCH二进制码 S_{2i}=(S_{i})^{2} ,对任意i因此只需要计算 S_{i} 对任何奇数的i与 Meggit 解码不同,代数解码间接使用综合值定位错误,通过定义一个错误定位多项式 \sigma(x),其根 X_{k} (或倒数根)给出了错误的位置。其中 X_{k} 是第k个错误定位器, X_{k}=\alpha^{j} , \alpha^{j} = GF(2^{m}) , k=1,2,...,t ,表示接收到的n位字的 r(x) 中第 j 位的比特错误 ( j=0,1,2,…..n-1) 。使用 \sigma(x) 允许 (*) 被转换成一组线性方程。Fig.1Fig. 2示例一个在 GF(2^{4}) 上定义的 BCH(15,7),使用 p(x)=x^{4}+x+1 ,编码后的码字接收为 r(x)=x+x^{8}+x^{11}+x^{12} 。假设 c(x)=x+x^{7}+x^{8}+x^{11}+x^{12}+x^{13} 计算过程如下代入 \sigma(x)=x^{2}+\alpha^{5}x+\alpha^{5} ,逐个检查(Chien search)它的根(roots),所以当检查到 j=7:\sigma(\alpha^{7})=\alpha^{2}+\alpha^{5}\alpha^{7}+\alpha^{5}=\alpha^{3}+1+\alpha^{3}+\alpha^{2}+\alpha+1+\alpha^{2}+\alpha=0 类似的 j=13:\sigma(\alpha^{13})=0 所以这里就是接收错误所在。那么这个例子中可以在r(x)中的 j=7,j=13处进行纠正。........ [1]‘BCH code’, 维基百科. Sep. 22, 2023. Accessed: Nov. 30, 2023. [Online]. Available: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=BCH_code&oldid=1176614924 [2] G. Wade, ‘Coding Techniques: An Introduction to Compression and Error Control’, 2000. Accessed: Nov. 30, 2023. [Online]. Available: [3]W. W. Peterson and E. J. Weldon, Error-correcting Codes. MIT Press, 1972. 编辑于 2023-12-01 03:00・IP 属地英国编码理论纠错码BCH码​赞同 3​​1 条评论​分享​喜欢​收藏​申请

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_百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心BCH码播报讨论上传视频纠错码收藏查看我的收藏0有用+10本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。BCH码是一类重要的纠错码,它把信源待发的信息序列按固定的κ位一组划分成消息组,再将每一消息组独立变换成长为n(n>κ)的二进制数字组,称为码字。如果消息组的数目为M(显然M>=2),由此所获得的M个码字的全体便称为码长为n、信息数目为M的分组码,记为n,M。把消息组变换成码字的过程称为编码,其逆过程称为译码。中文名BCH码类    别纠错码分    为线性分组码与非线性分组码其他码制里德-索洛蒙码目录1线性与否2编码译码3汉明码4循环码5BCH码6戈帕码7其他码制线性与否播报编辑分组码就其构成方式可分为线性分组码与非线性分组码。线性分组码是指[n,M]分组码中的M个码字之间具有一定的线性约束关系,即这些码字总体构成了n维线性空间的一个κ维子空间。称此κ维子空间为(n,κ)线性分组码,n为码长,κ为信息位。此处M=2。非线性分组码[n,M]是指M个码字之间不存在线性约束关系的分组码。d为M个码字之间的最小距离。非线性分组码常记为[n,M,d]。非线性分组码的优点是:对于给定的最小距离d,可以获得最大可能的码字数目。非线性分组码的编码和译码因码类不同而异。虽然预料非线性分组码会比线性分组码具有更好的特性,但在理论上和实用上尚缺乏深入研究(见非线性码)。编码译码播报编辑用Vn表示GF(2)域的n维线性空间,Vκ是Vn的κ维子空间,表示一个(n,κ)线性分组码。Ei=(vi1,vi2…,vin)是代表Vκ的一组基底(i=1,2,…,κ)。以这组基底构成的矩阵称为该(n,κ)线性码的生成矩阵。对于给定的消息组m=(m1,m2,…,mκ),按生成矩阵G,m被编为mG=m1E1+m2E2+…+mκEκ这就是线性分组码的编码规则。若之秩为n-κ并且满足GH=0,仅当=(v1,v2,…,vn)∈n满足H=0时,才为κ中的码字。称H为(n,κ)线性分组码κ的均等校验矩阵,称H为矢量的伴随式。假设v是发送的码矢量,在接收端获得一个失真的矢量r=v+E,式中E=(e1,e2,…,en)称为错误型。由此rH=(v+e)H=eH线性码的译码原则便以此为基础。汉明码播报编辑这是最早提出的一类线性分组码,已广泛应用于计算机和通信设备。它是由R.W.汉明于1950年提出的。若码的均等校验矩阵H由2-1个、按任一次序排列且彼此相异的二进制r维列矢量构成。这样得到的线性分组码称为汉明码,其分组长为n=2-1,信息位为κ=n-r=2-1-r,即为(2-1,2-1-r)码。例如,以矩阵为均等校验矩阵的线性分组码便为(7,4)汉明码。汉明码的译码十分简单。例如, 假定=(1001100)为发送的码字,其第3位有错,即接收矢量为r=(1011100)。于是恰为矩阵H的第 3 列,因而判定原来发送的码字为=(1001100)。这种译码方式是一般性的。如果接收矢量r在第i位有错,则其伴随式Hr刚好为矩阵H的第i列。汉明码是可以纠正单个错误的线性分组码。循环码播报编辑具有某种循环特性的线性分组码,如果(n,κ)线性分组码Vκ具有如下的性质:对于每一个=(ɑ0,ɑ1,…,)∈Vn,只要∈Vκ,其循环移位()亦属于Vκ,则称Vκ为循环码。循环码的优点在于其编码和译码手续比一般线性码简单,因而易于在设备上实现。使Vn中的每一个矢量=(ɑ0,ɑ1,…,),对应于域GF(2)上的多项式ɑ(x)=ɑ0+ɑ1x+…+x。于是Vn中的全体n维矢量便与上述多项式之间建立了一一对应的关系。基于这种对应,使Vn中除了线性运算而外,还建立了矢量之间的乘法运算。A=(ɑ0,ɑ1,…,)与B=(b0,b1,…,)的乘积ab可视为ɑ(x)b(x)[mod(x-1)]所对应的矢量。因此,一个(n,κ)循环码的生成矩阵及均等校验矩阵可分别由生成多项式及均等校验多项式h(x)所代替,从而简化了编码及译码运算。BCH码播报编辑它是一类重要的循环码,能纠正多个错误。假设m是满足模n(modn)的最小正整数,β是域GF(2)的n次单位原根,作循环码的生成多项式g(x),以d0-1个接续的元素为根,其中m0,d0均为正整数,且d0≥2。于是其中mj(x)代表的最小多项式。由这个g(x)所生成的,分组长为n的循环码称为BCH码。它由R.C.Bose,D.K.Ray-Chaudhuri及A.Hocquenghem三人研究而得名。BCH码的主要数量指标是:码长n,首元指数m0,设计距离d0,信息位数(表示多项式g(x)的次数)。BCH码的重要特性在于:设计距离为d0的BCH码,其最小距离至少为d0,从而可至少纠正(d0-1)/2个独立错误。BCH码译码的第一步是计算伴随式。假设 为发送码矢量,为接收矢量,而E=(E0,E1,…,En-1)为错误矢量,或记为错误多项式。于是伴随矢量之诸S=(S1,S2,…,S2t)分量Sκ由决定(κ=1,2,…2t;为简便计,设m0=1,d0=2t+1)。假设有e个错误出现(1≤e≤t),则对应于e个错误的Ei厵0。如果E的第j个(从左至右)非零分量是Ei,则称Xj=β为这个错误Ei的错位,而称Yj=Ei为这个错误的错值。称 为错位多项式。BCH码译码的关键是由诸sκ(κ=1,2,…,2t)求出(z)。这可用著名的伯利坎普-梅西迭代算法来完成。这种算法相当于线性移位寄存器(LFDR寄存器)的综合问题。最后一步是求出(z)的全部根,可用钱天闻搜索算法完成,从而可以定出接收矢量r的全部错位 [1]。BCH码基本原理BCH码是一种有限域中的线性分组码,具有纠正多个随机错误的能力,通常用于通信和存储领域中的纠错编码。BCH码定义如下:给定任意一个有限域GF(q)及其扩展域GF(q^m),其中q是素数或素数的幂,m为正整数。对于任意一个码元取自扩展域GF(q^m)的循环码(n,k),其中n=2^m-1,其生成多项式g(x)具有2t个连续的根{a^1,a^2,a^,...,a^(2t-1),a^(2t)},则由生成多项式g(x)编码产生的循环码称为q进制的BCH码,记为(n,k,t)。当码长n=2^m-1,称为本原BCH码,否则称为非本原BCH码。最常用的BCH码是二进制的BCH码。二进制BCH码的所有码元都是由0和1构成,便于硬件电路的实现。如无说明,本文以下讨论的BCH码都是二进制BCH码。二进制本原BCH码具有以下重要参数:1.码长:n=2^m-12.校验位长度:n-k<=m*tBCH码的生成多项式是由GF(q^m)的2t个最小多项式最小公倍式的乘积,纠错能力为t的BCH码生成多项式为g(x)=LCM{m1(x),m2(x),...,m2t-1(x),m2t(x)},其中LCM表示最小公倍式,m(x)为最小多项式。由多项式理论知道,如果有限域GF(2^m)中的元素a^i是m次即约多项式mi(x)的根,则(a^i)^2,(a^i)^4,(a^i)^8,...也是mi(x)的根,(a^i)^2,(a^i)^4,(a^i)^8,...称为共轭根系。如果两个根共轭,则它们具有相同的最小多项式。因此生成多项式g(x)=LCM{m1(x),m2(x),...,m2t-1(x),m2t(x)}=m1(x)*m3(x)*...*m2t-1(x)通过以上步骤就可以求出BCH码的生成多项式。得到生成多项式就可以对信息进行编码 [2]。BCH码编码原理将未编码的k位数据记为多项式:m(x)=m0+m1*x^1+m2*x^2+...+mk-1*x^k-1;其中mi属于{0,1}将生成多项式记为:g(x)=g0+g1*x1+g2*x^2+...+gr*x^r,其中r=m*t,校验位记为r(x),则r(x)=x^r*m(x) mod g(x)编码后的BCH码字多项式可记为:C(x)=x^r*m(x)+x^r*m(x) mod g(x)BCH编码实现的关键是通过除法电路得到校验位多项式。编码的过程可总结为:1.将m(x)左移r位,得到x^r*m(x);2.用生成多项式g(x)除以x^r*m(x),得到校验位多项式r(x);3.得到码元多项式C(x)=x^r*m(x)+x^r*m(x) mod g(x)。戈帕码播报编辑这是一种重要的线性分组码,它不仅包括常见的诸如本原BCH码等大量的循环码类,还包括相当多的非循环线性分组码类,并且后一种码具有良好的渐近特性。戈帕码的理论实质在于将每一个码矢量与一个有理分式相对应。q是某一个素数幂,g(z)是域GF(q)上的任意多项式,L表示域GF(q)中所有不为g(z)之根的元素所成之集合,|L|代表L中元素的数目。于是存在一个以GF(q)为符号域,以GF(q)为位置域的线性分组码。码长为|L|,它的各码元用L中的元素来标志。这种码可定义为满足条件的一切GF(q)上的全体|L|维矢量的集合,式中 这种码称为戈帕码,称g(z)为戈帕多项式。例如,q=2,m=2,g(z)=z+α,α是域GF(z)上的本原元素 α+α+1=0 α3=1则2时所建立的码长为n=q-1的q进制BCH码便称为里德-索洛蒙码,简称为RS码。当q=2(m>1),码元符号取自域GF(2)的二进制RS码可用来纠正成区间出现的突发错误。这种码在短波信道中特别有用。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000-1.5 %����

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H���mo7�����\����]�"5G�Z��*+�AU��B*迯�k{6w��l�t9n��x�~�r6v۟��߿���gO�l��n��WFsŤ�ډ� =�R1���Z��ۋ�����[�}~{{���m��/��~su����=}z�lǺ��B��/Lp�=c_�o��8

&���\��kv��}e�"¿�gꀒ\�Əݫ%��nN剙>�ܼ�D|^�GO�f�Н����|�3ܘ����ãRBzm%�>��M���v�TH2��e�ѧ˓o��7�<߇�o��^�d�}���MKɭg����=':vy"���>Y+������y�]�lN�I?.78$�9Э�+�N㗻��߱���4Av���b�[���'��s1ML���j�ƻ�n�x�d�n=��ָ0Rr����?��1v�Ot(8�hx.��i4�4�v2�n�w�ye��h�\ϕe���?!�w�짟�bZ��8h�8Y�Y5Tyv�u^�O�S$8�¤J��V�)W�)�z<$^ �ܫ�9�zx���<�F\���\�J�T�J4���ը�r1*�T�Z4����^%�0� ���s-��T�z �7׻ൈ^������ �̗�p/5��X #�=u�i\j�7��J ?�:���X�o{po9{p 7��=�.%zn��.���]ŗI�/K�7��b�p��sC�����7���iс!w`�������C�$a�>�jc��d�Ú&��U4�?����dk��h���$������5ay�[C��C�5ml��ckiXdJ��&���is0���5�+���V;���W�2,|��j��+2="P���-ޮƆֽmb�� ,�[�x��oX��N�-�.�4o2���Ml�v��y�)U�ma�� ,�[�L��m [�]`i�zdMo����r�*�՚�G�d�oWc�5�ma���� �#k2x������ 4 ����fy\�E�x���ػ��4�

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H��WYo7~ׯ�D��px������H�V�NP8NR�h��qs�����jW��

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W�ܲo��Z=q�����؂&�1�C�qI���V�����;��ۂ�]�i�h��sf��1�P�_��+���`�������M�W����!B�+ɼ҃u�e��9F.���~p��[��%���/!�Gk�%â �ʲ��;��j��ɭ�f��Љ+rw�QGcK#�,^��o���Xox�`L��� j�El�P�l��aHҮ���a�j�~ ��~Q��T,-M�������ȍ�LA1f����O�ݚe]��#�������R5�6UJ�}�Z�!���uqh��ɒ&��w2C�owK���|�%$�߀�� m�-���s�-p���\{��U8OɻgCA;۳�{�1p��ǀ[�M�9��/4�| ��'�D��a���~+̈�q�w�q�ɽy��.�޻�a�K���g1��qf�����=Xw22�����}2>������O�?�?I���-���P�(.�H����rd�v�q�����!z�=c[��.�|��:������D���N �h�x@���� �JI!&�y�ݓs*�ᢟ )9���cYtu޸��y�훱^Y4u��W�ꕗ�vx'<���w�B� ��+��BK:���"o��Z�b_��Z)r]�6���t9|;%#��m��E ���%V�|*IF�4k��޶a��

�՞2�@@������B��&��\��L�,�O~�v5���N��r��x�W��bJ�)�(ϫEyg1�/WL�ŕwp����q��4�'�L�q�D'Me�lR��&���N���`�ă�C@*��0,�1q,bd.M �~9�Y���~˳t��ҧ�-G�٤�+���R+3/�e@�ⶓa�������/�< +ދ?�h���զ��(O ����� $�d��G�lՕM$k�o��E-4Z��mL n9�:;�e$���UI&�(V�,�K��/�w�y/næP�?R�+!e��l���Jq�{*� 8j�JM_�R^c�Pwִ�� V;�r��,�}���tL(���TsǕ�ћ�`���\�z_s|u�jF�t4S1o:��<<�2W\���|0M̍���+����0��$A���baĮCI���+�����

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第三章 BCH码

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116

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1. BCH编码(附MATLAB仿真) - 知乎

1. BCH编码(附MATLAB仿真) - 知乎切换模式写文章登录/注册1. BCH编码(附MATLAB仿真)这么因工作需要看了很多关于BCH码的资料,但因为有很多的专业名词,所以看了很多天,综合了多方面的资料才大概有些明白BCH编解码的流程,下面也是我的学习笔记,方便以后查看,也可以方便大家一起学习,如有错误之处,还请一起交流讨论,随时修改补充。写在前面:只关心具体的流程和实现方法,不太关注为什么要这样做,底层逻辑什么的。基础知识:①BCH码是一种纠错码、线性分组码、循环码。②需要传输信息位数:k③纠错能力:t④总码长(信息位+监督位):n⑤n的长度满足n=2^m – 1时生成的为本原BCH码;n的长度为2^m – 1的因子时为非本原BCH码(如n=15,n=31,n=63时为本原BCH码;n=21(可被63整除)等时为非本原BCH码)⑥此外还有加长BCH码和缩短BCH码。⑦具体的BCH码通常用BCH(n,k)码来表示。加长BCH码和缩短BCH码: 因为本原BCH码和非本原BCH码要求了n的长度,但很多情况下我们想要的码长并不满足n=2^m – 1或其因子。这时候就需要加长BCH码和缩短BCH码。(1)缩短BCH码BCH(50,32)码是扩展域GF(2^6)上BCH(63,45)码的缩短码。BCH(50,32)码和BCH(63,45)码的区别与联系:①两者纠错能力相同,生成多项式相同。②缩短码的实现只需要在编译码时在高位上补0,从k = 32凑到k = 45即可。(2)加长BCH码 在本原BCH码或非本原BCH码的生成多项式中乘因式(x+1),可以得到加长BCH码(n+1,k),加了一个校验位。编码流程(只关心如何仿真实现,不关心具体流程可以跳过): 在BCH编码时,有三个多项式需要分清楚:本原多项式、极小多项式、生成多项式。编码时首先已知的是本原多项式,其次通过本原多项式算出极小多项式,最后用极小多项式得到最终的生成多项式,已知生成多项式就相当于已经编码成功了!资料里获取BCH码的生成多项式的步骤如下:下面用自己的话展开说说:第一步:确定扩展域GF(P^m)及其本原多项式p(x)。对于小白来说,不用关心扩展域是什么鬼,只需要知道,在GF(P^m)中只含有P^m个元素:0和a^i,其中i = 0,1,2,…,P^m – 2,(P=2时为二进制,我只关心了二进制)。并且通过本原多项式p(x)可以得到一个映射关系,举个具体的例子来看:选择本原多项式为p(x)=1+x+x^3的扩展域GF(2^3),用扩展域的元素a来定义p(x)的根,也就是1+a+a^3=0 ——> a^3=1+a(二进制里,加就是减),也就是说,a^3可以表示为更低价a项的加权和。通过这个关系:a^3 = 1+a,可以将扩展域GF(2^3)中的八个元素映射为(本质上就是利用这一关系,把八个元素换算成最高幂次为2的多项式):0 = 0a^0 = 1a^1 = aa^2 = a^2a^3 = a + 1a^4 = a(a+1) = a^2 + aa^5 = a^2 (a+1) = a^3 + a^2 = a^2 + a + 1a^6 = a^3 (a+1) = (a+1)^2 = a^2 + a + a + 1 = a^2 + 1则可知n=P^m – 1,在实例中也就是m = 3,P = 2,n = 7(总码长)。第二步:因式分解x^n + 1 = f1(x)f2(x)…fm(x),则可获取极小多项式为f1(x),f2(x),…,fm(x)。在上述实例中也就是对x^7+1因式分解得到:x^7 + 1 = (x+1)(x^3 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1),也就是极小多项式有x+1、x^3 + x + 1、x^3 + x^2 + 1三种情况。那如何把极小多项式和a^i相对应呢?就是说我怎么知道哪个是a^i的极小多项式呢?下一步我们来为a^i分配极小多项式,fi(x)表示它为a^i的极小多项式。第三步:将fi(x)中代入a^i,其中i = 0,1,2,…,P^m – 2,看a^i是哪个fi(x)的根,fi(x)就是a^i的极小多项式(记得可以利用第一步中的映射关系哦)。还是用例子说话:举例把a^3代入x+1中,由第一步可知a^3 = 1+a:f(a^3) = 1+a+1 = a不等于0,不行! 再把a^3代入x^3 + x + 1中,得到:f(a^3) = (a+1)^3+a+1+1 = (a^2 + a + a + 1)(a + 1) + a = a^3 + a^2 + a + 1 + a = a + 1 + a^2 + 1 = a^2 + a不等于0,不行!再把a^3代入x^3 + x^2 + 1中,得到:f(a^3) = (a+1)^3+(a+1)^2+1 = (a^2 + a + a + 1)(a + 1) + a^2 + 1 + a + a + 1 = a^3 + a^2 + a + 1 + a^2 = a + 1 + a + 1 = 0,行!a^3是x^3 + x^2 + 1的根!所以我们给a^3分配的极小多项式是f3(x) = x^3 + x^2 + 1。同理可得:f0(x) = x + 1f1(x) = f2(x) = f4(x) = x^3 + x + 1f3(x) = f5(x) = f6(x) = x^3 + x^2 + 1第四步:然后,我们就可以确定想要纠错几个比特了,假设我们想纠错t bit,则对应的生成多项式就是:g(x) = LCM[f1(x),f2(x),…,f2t(x)]。最后,我们可以知道:deg g(x) = n – k,即:监督位位数 = g(x)的最高项的幂次。BCH编码实现(matlab实现):在上一部分中说了如何从本原多项式到生成多项式的过程,但是其实一般不需要计算获取生成多项式g(x),前人已经把找到的g(x)列成表,因此可以用查表法找到对应的生成多项式。一个特定的n,k和t对应一个g(x),n<=127的二进制本原BCH码生成多项式系数见课本《通信原理》(第七版)(樊昌信、曹丽娜 编著)P353,P354有部分二进制非本原BCH码生成多项式系数,表中给出的生成多项式系数用八进制数字列出,本文最后附录了该课本介绍BCH码的部分,包含表格。 所以想MATLAB仿真实现BCH编码需要:第一步:确定你需要的n,k和t,对应附录中的生成多项式系数表格,得到生成多项式系数。第二步:用n,k,t,g(x)系数代入如下代码中仿真。仿真实现了BCH编解码过程。%-------------------------------------main------------------------------------------%

%% BCH编解码

%% 参数

n = 63; % 信息比特+监督比特

t = 2; % 纠错能力

k = 51; % 要求的信息bit数

k0 = 28; % 实际的信息bit数

gx = 12471; % 生成多项式系数(八进制)

error = 2; % 经过信道后的错码bit数

%% 发送序列data与编码endata

disp(['码长 k0 = ',num2str(k0)])

data0 = zeros(1,k0); % 待编码信息序列(实际长度k0,若k0=k则为本原或非本原BCH码;若k0

if k0 < k

data = [zeros(1,k-k0) data0];

else

data = data0;

end

endata = BCH_encode1(data,gx,k0);

%% 信道

noi_index = randperm(length(endata));

noi_index = noi_index(1:error);

noi = zeros(1,length(endata));

noi(noi_index) = 1;

noidata = mod(endata+noi,2);

disp(['发送码字为',num2str(endata)])

disp(['接收码字为',num2str(noidata)])

enum=0;

for i=1:length(endata)

if endata(i)~=noidata(i)

enum=enum+1;

end

end

disp(['通过信道后出错 ',num2str(enum),' 位'])

%% 接收端解码

[dedata,YN] = BCH_decode(noidata,n,k,k0,t);

if YN == 1

disp('解码后存在误码');

else

disp('解码正确');

end

YN1 = xor(dedata,data0);

if sum(YN1) ~= 0

disp('实际上解码后存在误码');

else

disp('实际上解码正确');

end

%---------------------------------BCH编码-----------------------------------------------%

function encode = BCH_encode1(code,gx,k0)

%%

bin = oct2bin(gx);

while 0 == bin(1)

bin = bin(2:length(bin));

end

x1=zeros(1,length(bin));

x1(1)=1;

c1=conv(x1,code);

[~,r]=deconv(c1,bin);

r=mod(r,2);

encode = mod(c1+r,2);

encode = encode(length(code)-k0+1:end);

end

%----------------------------八进制转二进制------------------------------------------%

function bin = oct2bin(coef)

tmpData = [0 0 1; 0 1 0; 0 1 1; 1 0 0; 1 0 1; 1 1 0; 1 1 1; 0 0 0];

bin = [];

while coef ~= 0

tmp = mod(coef,10);

if 0 == tmp

tmp = 8;

end

bin = [tmpData(tmp,:) bin];

coef = floor(coef/10);

end

end

%--------------------------------BCH解码-------------------------------------------%

function [decode1,YN] = BCH_decode(encode,n,k,k0,t)

%%

% n = 31; % 码长(信息码元+监督码元)

% t = 3; % 纠错能力

% k = 16;

encode = [zeros(1,k-k0) encode];

m = 0;

while(2^m-1~=n && m<20) % 计算m

m = m + 1;

end

a = gf(2,m);

%%

s = a + a; % 伴随式

for i = 1:2*t

s(i) = a + a;

for j = 1:n

s(i) = s(i) + encode(j)*a^((n-j)*i);

end

end

for r = t:-1:1

A = a + a;

for i = 1:r

for j = 1:r

A(i,j) = s(r+i-j);

end

end

if det(A) ~= 0

break;

end

end

d = rank(A);

B = a + a;

for i = 1:d

B(i) = s(d+i);

end

if A == a + a

decode = encode;

E = zeros(1,n);

else

sigma = A\B';

E = zeros(1,n);

x = a + a;

ki = 1;

for i = 1:n

h = a^0;

for j = 1:d

h = h + sigma(j)*a^(i*j);

end

if h == a + a

x(k) = a^(n-i);

E(i) = 1;

ki = ki + 1;

end

end

decode = mod(E+encode,2);

end

decode1 = decode(k-k0+1:k);

%% 解码后是否仍有误码(检错)

s = a + a;

for i = 1:2*t

s(i) = a + a;

for j = 1:n

s(i) = s(i) + decode(j)*a^((n-j)*i);

end

end

for r = t:-1:1

A = a + a;

for i = 1:r

for j = 1:r

A(i,j) = s(r+i-j);

end

end

if det(A)~=0

break;

end

end

d = rank(A);

if d ~= 0

YN = 1;

else

YN = 0;

end

end%------ 2023.3.30代码修改更新start ------%去年编写代码的时候有一些疏漏:①BCH译码模块:解码后的检错for i = 1:2*t和for r = t:-1:1两行一开始把t具体话成了5,是我没有看清楚,导致有时译码错误,现在已经直接在上面一版代码中修改过来了;②上面一版代码还有一个问题(是一位读者发现的耶),在码长较短时,比如n=31或127时可以完美的编译码,但是码长较长,如n=1023时,就会有错误!经过排查,发现算法没有问题,问题出现在了bch编码模块的deconv函数上,deconv用来求余数,求完余数后还会二进制。位数少的时候,deconv求出来的余数有奇有偶,变成二进制有0有1,位数多了,求出来的余数都特别大,比如在n=1023时求出的余数量级在1e63,导致bch编码的校验位全为零(但是我也不知道为什么这种情况下deconv求出来的余数为什么这么大呀?),所以我自己编写了一个二进制除法取余的函数,下面附了二进制除法取余的函数bin_division.m和对bch编码函数的更改,使用此bch编码函数后可实现较长码字n=1023时的编译码:%------------------------------二进制除法取余---------------------------------------%

function [q,r] = bin_division(A,B)

while 0 == A(1)

A = A(2:length(A));

end

while 0 == B(1)

B = B(2:length(B));

end

NA = length(A); % A长

NB = length(B); % B短

loc1 = 1;

loc2 = loc1 + NB - 1;

q = zeros(1,NA);

r = [];

en = 0;

while loc2 <= NA

q(loc2) = 1;

seq = A(loc1:loc2);

Nr = length(r);

t = NB - Nr;

now = [r seq(end-t+1:end)];

r = xor(now,B);

if sum(r) == 0

r = [];

en = 1;

else

while 0 == r(1)

r = r(2:length(r));

end

end

Nr = length(r);

loc2q = loc2;

loc1 = loc2 - Nr + 1;

loc2 = loc1 + NB - 1;

if en == 1

seq = A(loc1:loc2);

deta = find(seq==1,1);

loc1 = loc1 + deta - 1;

loc2 = loc2 + deta - 1;

en = 0;

end

end

r = [r A(loc2q+1:end)];

while 0 == q(1)

q = q(2:length(q));

end

end

%---------------------------------BCH编码-----------------------------------------------%

function encode = BCH_encode1(code,gx,k0)

%%

bin = oct2bin(gx);

while 0 == bin(1)

bin = bin(2:length(bin));

end

x1=zeros(1,length(bin));

x1(1)=1;

c1=conv(x1,code);

[~,r] = bin_division(c1,bin);

Nc1 = length(c1);

Nr = length(r);

r = [zeros(1,Nc1-Nr) r];

encode = mod(c1+r,2);

encode = encode(length(code)-k0+1:end);

end%------ 2023.3.30代码修改更新end ------%附录一:《通信原理》(第七版)(樊昌信、曹丽娜 编著)BCH码参考:BCH编码.ppt2M · 百度网盘补充补充和BCH相关的其他小知识:①已知n和k,可以使用matlab中的bchgenpoly(n,k)函数输出生成多项式系数gx;②n-k+1=二进制gx的位数;问题记录两个我现在还不太清楚的问题吧:①为什么二进制被除数比较大的时候deconv函数求出来的余数这么大呀?②加长码具体是如何实现的?看到了两种说法,一种是编完bch码后在最后加一位奇偶校验码;一种是在bch码生成多项式中乘上因式x+1,从而得到bch(n+1,k)码。③自己编写的求余函数bin_division.m有一个局限,是如果被除数是全零的话会报错,暂时还没有时间改,先记录一下。编辑于 2023-10-30 15:56・IP 属地山东BCH码通信编码​赞同 43​​7 条评论​分享​喜欢​收藏​申请

BCH码(能纠正多个随机错误的循环码)-CSDN博客

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BCH码(能纠正多个随机错误的循环码)-CSDN博客

BCH码(能纠正多个随机错误的循环码)

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信号处理

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信号处理

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PS:课上讲的也是编解码流程,也没有原理,网上也没找到每一步的原理,想要了解设计思路还是需要去找一下原版的论文。

参考blog: 【1】【举例子详细分析】BCH码(BCH code)

目录

1. 伽罗华域和多项式2. 提出背景和思路3. 案例:为什么需要本原多项式4. BCH码编码过程5. BCH码译码过程

1. 伽罗华域和多项式

  见之前的blog伽罗华域GF

2. 提出背景和思路

  奇偶校验码只能检查出错误而不知道具体是哪里出错。   hamming码只能纠正 1 bit 错误。   在GF

(

2

q

)

(2^q)

(2q)中,用多项式表示对应的有限域中的数值,多项式又可表示成二进制bit流的形式,等于二进制bit流与符号之间的一一映射,同时二进制多项式加法和二进制的按位异或等同(二进制流所受的干扰可用加法表示),多项式乘法及其逆运算能够实现多项式的恢复,本原多项式能保证逆运算结果具有唯一性。

  现假设待传输的消息用二进制流对应的

m

(

x

)

m(x)

m(x)表示,乘上一个编码多项式

p

(

x

)

p(x)

p(x),传输过程收到干扰可表示为

e

(

x

)

e(x)

e(x),则接受到:

c

(

x

)

=

m

(

x

)

p

(

x

)

+

e

(

x

)

c(x)=m(x) p(x)+e(x)

c(x)=m(x)p(x)+e(x)如果接受端也知道p(x),那么就能得到

m

(

x

)

m(x)

m(x)和

e

(

x

)

e(x)

e(x)。

本原元→本原多项式:

GF

(

2

q

)

(2^q)

(2q)上的本原元是一个元素, 在域中的任何非零元素都可以表示为它的方幂任意一个有限域 GF

(

2

q

)

(2^q)

(2q)必有一个本原元

α

\alpha

α本原元的阶数为

2

q

1

2^q-1

2q−1,即

α

2

q

1

+

1

=

0

\alpha^{2^q-1}+1=0

α2q−1+1=0本原多项式

p

(

x

)

p(x)

p(x)是以本原元

α

\alpha

α为根的、首项系数为1的最低阶不可约多项式

3. 案例:为什么需要本原多项式

对于GF

(

2

4

)

(2^4)

(24),有本原多项式

p

(

x

)

=

x

2

+

x

+

1

p(x)=x^{2}+x+1

p(x)=x2+x+1   

m

(

x

)

m(x)

m(x)是

1001

1001

1001,而编码多项式

p

(

x

)

p(x)

p(x)是

1101

1101

1101,则

m

(

x

)

p

(

x

)

=

1100101

m(x)*p(x)=1100101

m(x)∗p(x)=1100101。若收到了干扰

e

(

x

)

=

0000010

e(x)=0000010

e(x)=0000010,则接受到

1100111

1100111

1100111,

e(x)e(x)/p(x) 的余项10000001000000010000001000000010000001000000010001100000000010001100000000010111000000000011010000

  从表中可看出,

e

(

x

)

e(x)

e(x)和所得余项一一对应,通过余项结果可找到对应的

e

(

x

)

e(x)

e(x)。如果采用

p

(

x

)

=

10001

=

101

101

p(x)=10001=101*101

p(x)=10001=101∗101,1000000和0000100除以10001后余项均为1000000。

4. BCH码编码过程

  思想:一个本原多项式纠正一个错误,通过修正编码多项式

c

(

x

)

=

m

(

x

)

Q

(

x

)

+

e

(

x

)

c(x)=m(x) Q(x)+e(x)

c(x)=m(x)Q(x)+e(x)令其中

Q

(

x

)

=

p

(

x

)

p

3

(

x

)

p

5

(

x

)

p

2

t

1

(

x

)

Q(x)=p(x) p_{3}(x) p_{5}(x) \cdots p_{2 t-1}(x)

Q(x)=p(x)p3​(x)p5​(x)⋯p2t−1​(x),p(x)是本原多项式,实现纠正多个错误。

  

p

2

t

1

(

x

)

p_{2 t-1}(x)

p2t−1​(x)的性质(a mod b=c,表明a除以b余数为c):

p

2

i

1

(

x

)

m

o

d

p

(

x

)

=

0

i

=

2

,

.

.

.

,

t

p_{2 i-1}(x) \, mod \, p(x)=0,i=2,...,t

p2i−1​(x)modp(x)=0,i=2,...,t本原BCH码

p

(

α

)

=

p

(

α

3

)

=

.

.

.

=

p

(

α

2

t

1

)

=

0

p(\alpha)=p(\alpha^{3})=...=p(\alpha^{2t-1})=0

p(α)=p(α3)=...=p(α2t−1)=0

  以

n

=

2

4

1

=

15

n=2^{4}-1=15

n=24−1=15, 纠错数量

t

=

3

t=3

t=3 的本原BCH码为例,设

α

\alpha

α为GF

(

2

4

)

(2^4)

(24)的本原元,本原多项式为

p

(

x

)

=

x

4

+

x

+

1

p(x)=x^{4}+x+1

p(x)=x4+x+1,那么

Q

(

x

)

=

p

(

x

)

p

3

(

x

)

p

5

(

x

)

Q(x)=p(x) p_{3}(x) p_{5}(x)

Q(x)=p(x)p3​(x)p5​(x),现有

p

(

x

)

=

x

4

+

x

+

1

=

(

x

α

)

(

x

α

2

)

(

x

α

4

)

(

x

α

8

)

p(x)=x^{4}+x+1=(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^4)(x-\alpha^8)

p(x)=x4+x+1=(x−α)(x−α2)(x−α4)(x−α8),画表得到其共轭根为

α

3

,

α

6

,

α

12

,

α

9

\alpha^{3}, \alpha^{6}, \alpha^{12}, \alpha^{9}

α3,α6,α12,α9,故

p

3

(

x

)

=

(

x

α

3

)

(

x

α

6

)

(

x

α

2

)

(

x

α

9

)

=

x

4

+

x

3

+

x

2

+

x

+

1

p_{3}(x)=(x-\alpha^{3})\left(x-\alpha^{6}\right)\left(x-\alpha^{2}\right)\left(x-\alpha^{9}\right)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1

p3​(x)=(x−α3)(x−α6)(x−α2)(x−α9)=x4+x3+x2+x+1,剩余两根构成

p

5

(

x

)

=

(

x

α

5

)

(

x

α

10

)

=

x

2

+

x

+

1

p_{5}(x)=\left(x-\alpha^{5}\right)\left(x-\alpha^{10}\right)=x^{2}+x+1

p5​(x)=(x−α5)(x−α10)=x2+x+1。此时

g

(

x

)

=

p

(

x

)

p

3

(

x

)

p

5

(

x

)

=

x

10

+

x

8

+

x

5

+

x

4

+

x

2

+

x

+

1

g(x)=p(x) p_{3}(x) p_{5}(x)=x^{10}+x^{8}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1

g(x)=p(x)p3​(x)p5​(x)=x10+x8+x5+x4+x2+x+1。

此时n=15,t=3,deg(g(x))= 10, k=n-deg=5,t=3,设计的码距d=2t+1,实际码距和设计码距相等

PS:(以上推导过程为法一,适合做题不适合编程) 法二:上图中极小多项式是

x

2

q

1

x^{2^q-1}

x2q−1的因式分解结果,一个BCH码的生成多项式也可由

L

C

M

[

f

1

(

x

)

,

f

2

(

x

)

,

,

f

2

t

(

x

)

]

LCM[f_1(x),f_2(x),…,f_{2t}(x)]

LCM[f1​(x),f2​(x),…,f2t​(x)]给出,详细可见参考文献【1】

5. BCH码译码过程

由于

m

(

x

)

Q

(

x

)

m(x) Q(x)

m(x)Q(x)以

α

1

,

α

2

,

,

α

2

t

\alpha^{1}, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{2 t}

α1,α2,…,α2t为根。想要知道错误图样,需要知道在位置i是否发生错误。 定义

e

(

x

)

=

i

=

0

n

1

e

i

x

i

=

l

=

1

γ

Y

l

x

i

l

e(x)={\sum_{i=0}^{n-1} e_{i} x^{i}}=\sum_{l=1}^{\gamma} Y_{l} x^{i_{l}}

e(x)=∑i=0n−1​ei​xi=∑l=1γ​Yl​xil​,

i

l

i_{l}

il​表示错误位置。 译码五步: 5.1 伴随多项式的计算 法一:接收端知道

Q

(

x

)

Q(x)

Q(x),能得到对应的

h

(

x

)

=

x

n

+

1

Q

(

x

)

h(x)=\frac{x^n+1}{Q(x)}

h(x)=Q(x)xn+1​,从而写出H,即可计算s(x) 法二:

推导过程:

5.2 错误位置多项式系数的求解: 5.3 错误位置的确定 5.4 计算对应错误位置上的错误数值 5.5 得到e(x),输出结果

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BCH码(能纠正多个随机错误的循环码)

参考blog:【举例子详细分析】BCH码(BCH code)目录1. 伽罗华域和多项式2. 提出背景和思路3. 案例:为什么需要本原多项式4. BCH码1. 伽罗华域和多项式  见之前的blog伽罗华域GF2. 提出背景和思路  奇偶校验码只能检查出错误而不知道具体是哪里出错。  hamming码只能纠正 1 bit 错误。  在GF(2q)(2^q)(2q)中,用多项式表示对应的有限域中的数值,多项式又可表示成二进制bit流的形式,等于二进制bit流与符号之间的一一映射,同时二进制多项式

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专栏目录

ECC-BCH编码原理

03-11

BCH码是一类最重要的循环码,能纠正多个随机错误,它是1959年由Bose、Chaudhuri及Hocquenghem各自独立发现的二元线性循环码,人们用他们的名字字头命名为BCH码。

密码学 BCH纠错编码算法

05-06

密码学 BCH纠错编码算法

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weixin_39548832的博客

12-22

2019

1BCH码概述BCH码取自 Bose、Ray-Chaudhuri 与 Hocquenghem 的缩写,是自1959年发展起来的一种能纠正多位错误的循环码,是编码理论尤其是纠错码中研究得比较多的一种编码方法。用术语来说,BCH 码是用于校正多个随机错误模式的多级、循环、错误校正、变长数字编码。BCH 码也可以用于质数级或者质数的幂级的多级相移键控。11 级的 BCH 码已经用于表示 10 进制数外加...

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1.BCH(26,16)的基本简介

BCH(26,16)是一种缩短循环校验码,它的数据位为16位,校验位是10位,码字的长度为26位。BCH(26,16)码取(31,21)循环码中的前5位信息位为0的码字作为码字,构成(21-5)维的线性子空间,它最多能够纠正t=2位错误(,其中m是GF(p^m)中的m,这里的m=5,n=31,k=21)。对于铁路在800M频段上的数据业务,它采用的生成多项式为...

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5450

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前言

主要讲述BCH码如何用c语言写出来

一、BCH码是什么?

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BCH编码与译码(MATLAB实现)

weixin_45115771的博客

07-05

7511

BCH码是由Bose、Chandhari 和 Hocquenhem 分别独立提出的一种能够纠正多个随机错误的循环码。

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08-21

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1,确定g(x),g(x)一般查表得到。g(x)一般不唯一,不能混淆;

2,由g(x)产生生成矩阵G(产生G后可以将G化简成(I,B)的形式,也可以不化简);

3,将信息码乘以生成矩阵得到BCH编码;

 

 

 

参考文献:

https://www.shangxueba.com/ask/5370751.html...

POCSAG编码和BCH(31,21)校验详解

woijal520的专栏

09-19

1万+

最近在做一个项目,使用以前寻呼机使用的POCSAG编码,下面先介绍下POCSAG编码。

1.1 POCSAG简介

POCSAG码是我国公众寻呼网广泛使用的信息编码,它具有容量大、编码效率高、适应能力强等优点委员会(CCIR)推荐为“无线寻呼1号码”。

1.2 POCSAG码

级联码的MATLAB实现

05-21

一、实验目的

对于 AWGN 信道,多采用汉明码、BCH 码、卷积码等适合纠正随机独立差错的信道编码方式;对于纯衰落信道,可以采用 RS 码、可纠正突发差错的分组码、卷积码等信道编码方式;但是实际中随机错误和突发错误又同时发生,所以不同编码方式的级联会提高可靠性。

二、实验原理

在保持可实现的译码复杂性条件下,构建具有较强纠错能力的信道纠错码的方法之一是使用级联码。实验采用的编码系统包括一个汉明编码的外码和一个卷积编码内码(采用Viterbi译码)。下图是串行级联码系统的的流程图。

三、实验结果与分析

1、实验在每个信噪比条件下要发送500000个样本点进行测试,外编码(7,4)汉明码、内编码(2,1,3)卷积码、码率1/2,交织器采用(7,4)分组交织。汉明码与卷积码构成的级联码误比特率性能仿真结果:

附录:程序源码(部分)

主函数部分

%交织器采用(7,4)分组交织,AWGN信道、BPSK调制、外编码(7,4)汉明码、内编码(2,1,3)卷积码

bch码的原理

12-17

bch的原理以及介绍。。。

BCH码是一类最重要的循环码,能纠正多个随机错误,它是1959年由Bose、Chaudhuri及Hocquenghem各自独立发现的二元线性循环码,人们用他们的名字字头命名为BCH码。

在前面的讨论中,我们所做的只是构造一个码,然后计算它的最小距离,从而估计出它的纠错能力,而在BCH码中,我们将采用另外一种方法:先说明我们希望它能纠错的个数,然后构造这种码。

通信与网络中的RS通信编码器的优化设计及FPGA实现

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这是一类具有很强纠错能力的多进制BCH码,既能纠正随机错误,也能纠正突发错误,也是一类典型的代数几何码。RS码一直以来都是国际通信领域研究的热点之一。  本文以战术军用通信系统的首选码RS(31,15)码为例,对...

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460

*工作原理:**使用一个额外的数组ct,其中第i个元素是待排序数组A中值等于i的元素的个数,然后根据数组ct来将A中的元素排到正确的位置。非基于比较:之前学的排序都是通过比较数据的大小来实现有序的,比如希尔排序等,而计数排序不用比较数据的大小。这些题都可以用其他排序方法试一遍,用来巩固也是比较好的,明天就要开始其他的算法系列了。计数排序(Counting sort))是一个非基于比较的稳定的线性时间的排序算法,计数排序的名字会让我们想到“计数法”,实际上计数排序的实现就是使用的计数法。

力扣404 左叶子之和 Java版本

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411

这个问题使用后序遍历和层序遍历都是可以的,只需要在遍历的过程中判断一下当前节点的左孩子节点是否是左叶子节点。如果是的话就加起来。解释: 在这个二叉树中,有两个左叶子,分别是 9 和 15,所以返回 24。输入: root = [3,9,20,null,null,15,7]给定二叉树的根节点 root ,返回所有左叶子之和。节点数在 [1, 1000] 范围内。输入: root = [1]下面附上后序遍历的递归解法。

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matlab BCH码

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BCH码是一种错误检测和纠正码,它被广泛用于数据通信和存储系统中。在MATLAB中,你可以使用通信系统工具箱(Communications Toolbox)中的函数来生成和解码BCH码。

要生成BCH码,你可以使用函数bchenc,它的语法如下:

```matlab

code = bchenc(msg, N, K)

```

其中,msg是要编码的消息向量,N是码字长度,K是消息长度。这个函数会返回一个编码后的码字。

要解码BCH码,你可以使用函数bchdec,它的语法如下:

```matlab

decodedMsg = bchdec(code, N, K)

```

其中,code是接收到的码字,N是码字长度,K是消息长度。这个函数会返回解码后的消息向量。

需要注意的是,使用BCH码进行错误检测和纠正时,你需要提前知道码字长度N和消息长度K。这些参数通常由具体的通信或存储系统决定。

希望这能帮到你!如果有更多问题,请继续提问。

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BCH码与RS码详解

2023-06-19

93

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简介:

BCH码与RS码详解

本专栏包含信息论与编码的核心知识,按知识点组织,可作为教学或学习的参考。markdown版本已归档至【Github仓库:https://github.com/timerring/information-theory 】或者公众号【AIShareLab】回复 信息论 获取。

BCH码-循环码

特点: 它的生成多项式 g(x) 与最小码距之间有密切 的关系, 可以根据所要求的纠错能力 t , 很容易地构 造出 BCH码。

如果循环码的生成多项式具有如下形式:$$ g(x)=\mathrm{LCM}\left[m_{1}(x), m_{2}(x), \ldots, m_{2 t-1}(x)\right] $$其中 t 为纠错个数, $m_{i}(x) $ 既约 (素) 多项式, $\mathrm{LCM}$ 表示取最小公倍数, 则由此生成的循环码为 $\mathbf{B C H}$ 码。码距 $\boldsymbol{d} \geq 2 \boldsymbol{t}+\mathbf{1}$ 。每个码字能纠 $\mathrm{t}$ 个随机独立差错。

若 $\mathbf{B C H}$ 码的码长 $n=2^{m}-1$ , 其中 $m \geq 3$, $t<\frac{m}{2}$, $n-k \leq m t$ , 则为本原 $\mathbf{B C H}$ 码;

若 $\mathbf{B C H}$ 码的码长是 $n=2^{m}-1$ 的因子, 则为非本原 $\mathbf{B C H}$ 码。

相关知识:

本原多项式的定义: 一个 n 次的多项式 f(x)

(1) f(x) 为既约多项式 (不可因式分解) -GF(2);

(2) f(x) 是 $\left(x^{p+1}\right)$ 因子, $ p^{2}=2^{n}-1$

(3) f(x) 不是 $ \left(x^{q+1}\right)$ 的因子, $ p>q$

$\mathrm{BCH}$ 码的编码: 生成多项式查表。

$\mathrm{BCH}$ 码的译码:

$\mathbf{B C H}$ 的译码主要采用彼得森译码, 思路如下:

用生成多项式 g(x) 的各因式作为除式, 对接收到的码多项式求余, 得到 t 个余式, 称为部分伴随式;

用 t 个部分伴随式构造一个特定的译码多项式, 它以错误位置数为根;

求译码多项式的根, 得到错误位置;

纠正错误位置。

RS码

q 进制 $\mathrm{BCH}$ 码的一个特殊子类 (n=q-1) , 并且具有很强的纠错能力。

$\mathrm{RS}$ 码的参数:码长 n=q-1 , 监督位数目 r=2t , 其中 t 是 能够纠正的错码数目, 最小码距 $\boldsymbol{d}=\mathbf{2 t}+\mathbf{1}$ ; 其生成多项式为$$ g(x)=(x+\alpha)\left(x+\alpha^{2}\right) \ldots\left(x+\alpha^{2 t}\right) $$式中, $\alpha^{i}$ 为伽罗华域 $\mathbf{G F}\left(\alpha^{m}\right)$ 中的一个元素。

RS码的主要优点:

它是多进制纠错编码,所以特别适合用于多进制调制的场合;

它能够纠正t个q位二进制错码,即能够纠正不超过q个连续的二进制错码,所以适合在衰落信道中纠正突发性错码。

总结

循环码基本概念;

循环码的生成多项式,以及用该多项式编译码

由生成多项式构造系统型生成矩阵和监督矩阵

循环码的编译码电路;

BCH、RS码。

参考文献:

Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.

Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.

周炯槃. 通信原理(第3版)[M]. 北京:北京邮电大学出版社, 2008.

樊昌信, 曹丽娜. 通信原理(第7版) [M]. 北京:国防工业出版社, 2012.

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BCH编码基本_bch编码规则-CSDN博客

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BCH编码基本

最新推荐文章于 2022-08-02 23:36:02 发布

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BCH codes 是指 Bose–Chaudhuri–Hocquenghem codes,可以用来纠错。BCH码利用了多项式一些很好的性质。

具体详见链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/95909150?utm_source=wechat_session

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BCH codes是指Bose–Chaudhuri–Hocquenghem codes,可以用来纠错。BCH码利用了多项式一些很好的性质。具体详见链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/95909150?utm_source=wechat_session

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BCH码是一类最重要的循环码,能纠正多个随机错误,它是1959年由Bose、Chaudhuri及Hocquenghem各自独立发现的二元线性循环码,人们用他们的名字字头命名为BCH码。

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BCH码与RS码详解

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于 2023-06-19 22:24:27 首次发布

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本文链接:https://blog.csdn.net/m0_52316372/article/details/131296398

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BCH码-循环码RS码总结

BCH码-循环码

特点: 它的生成多项式 g(x) 与最小码距之间有密切 的关系, 可以根据所要求的纠错能力 t , 很容易地构 造出 BCH码。

如果循环码的生成多项式具有如下形式:

g

(

x

)

=

L

C

M

[

m

1

(

x

)

,

m

2

(

x

)

,

,

m

2

t

1

(

x

)

]

g(x)=\mathrm{LCM}\left[m_{1}(x), m_{2}(x), \ldots, m_{2 t-1}(x)\right]

g(x)=LCM[m1​(x),m2​(x),…,m2t−1​(x)] 其中 t 为纠错个数, $m_{i}(x) $ 既约 (素) 多项式,

L

C

M

\mathrm{LCM}

LCM 表示取最小公倍数, 则由此生成的循环码为

B

C

H

\mathbf{B C H}

BCH 码。码距

d

2

t

+

1

\boldsymbol{d} \geq 2 \boldsymbol{t}+\mathbf{1}

d≥2t+1 。每个码字能纠

t

\mathrm{t}

t 个随机独立差错。

B

C

H

\mathbf{B C H}

BCH 码的码长

n

=

2

m

1

n=2^{m}-1

n=2m−1 , 其中

m

3

m \geq 3

m≥3,

t

<

m

2

t<\frac{m}{2}

t<2m​,

n

k

m

t

n-k \leq m t

n−k≤mt , 则为本原

B

C

H

\mathbf{B C H}

BCH 码;

B

C

H

\mathbf{B C H}

BCH 码的码长是

n

=

2

m

1

n=2^{m}-1

n=2m−1 的因子, 则为非本原

B

C

H

\mathbf{B C H}

BCH 码。

相关知识:

本原多项式的定义: 一个 n 次的多项式 f(x)

(1) f(x) 为既约多项式 (不可因式分解) -GF(2);

(2) f(x) 是

(

x

p

+

1

)

\left(x^{p+1}\right)

(xp+1) 因子, $ p{2}=2{n}-1$

(3) f(x) 不是 $ \left(x^{q+1}\right)$ 的因子, $ p>q$

B

C

H

\mathrm{BCH}

BCH 码的编码: 生成多项式查表。

B

C

H

\mathrm{BCH}

BCH 码的译码:

B

C

H

\mathbf{B C H}

BCH 的译码主要采用彼得森译码, 思路如下:

用生成多项式 g(x) 的各因式作为除式, 对接收到的码多项式求余, 得到 t 个余式, 称为部分伴随式;用 t 个部分伴随式构造一个特定的译码多项式, 它以错误位置数为根;求译码多项式的根, 得到错误位置;纠正错误位置。

RS码

q 进制

B

C

H

\mathrm{BCH}

BCH 码的一个特殊子类 (n=q-1) , 并且具有很强的纠错能力。

R

S

\mathrm{RS}

RS 码的参数:码长 n=q-1 , 监督位数目 r=2t , 其中 t 是 能够纠正的错码数目, 最小码距

d

=

2

t

+

1

\boldsymbol{d}=\mathbf{2 t}+\mathbf{1}

d=2t+1 ; 其生成多项式为

g

(

x

)

=

(

x

+

α

)

(

x

+

α

2

)

(

x

+

α

2

t

)

g(x)=(x+\alpha)\left(x+\alpha^{2}\right) \ldots\left(x+\alpha^{2 t}\right)

g(x)=(x+α)(x+α2)…(x+α2t) 式中,

α

i

\alpha^{i}

αi 为伽罗华域

G

F

(

α

m

)

\mathbf{G F}\left(\alpha^{m}\right)

GF(αm) 中的一个元素。

RS码的主要优点:

它是多进制纠错编码,所以特别适合用于多进制调制的场合;它能够纠正t个q位二进制错码,即能够纠正不超过q个连续的二进制错码,所以适合在衰落信道中纠正突发性错码。

总结

循环码基本概念;循环码的生成多项式,以及用该多项式编译码由生成多项式构造系统型生成矩阵和监督矩阵循环码的编译码电路;BCH、RS码。

参考文献:

Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.周炯槃. 通信原理(第3版)[M]. 北京:北京邮电大学出版社, 2008.樊昌信, 曹丽娜. 通信原理(第7版) [M]. 北京:国防工业出版社, 2012.

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BCH码-循环码RS码

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1. 伽罗华域和多项式

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前言

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具体详见链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/95909150?utm_source=wechat_session

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BCH code

简单介绍

若循环码的生成多项式具有如下形式\(g(x)=LCM[m_{1}(x),m_{3}(x)..m_{2t-1}(x)]\)

其中LCM表示最小公倍式,t为纠错个数,\(m_{i}(x)\)为素多项式,则由此生成的循环码称为BCH码,其最小码距\(d\ge d_{0}=2t+1\),其中\(d_{0}\)为设计码距,则这个码能纠正t个随机独立差错。

举个例子来有个先验感知:BCH(15,5)码,可纠正3个随机独立差错(t=3),求它的生成多项式。

码距应该为\(d\ge d_{0}=2*3+1=7\)

n=15,根据\(n=2^{m}-1\),得出m等于4;查下表不可约多项式可知:

阶数

编号

多项式(二进制表示)

2

1

111

3

1

1101

4

1 3 5

010011 011111 000111

5

1 3 5

100101 111101 110111

于是就有了\(m_{1}(x)=x^{4}+x+1\),\(m_{3}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\),\(m_{5}(x)=x^{2}+x+1\)

这样就得出:

\(g(x)=LCM[m_{1}(x),m_{3}(x),m_{5}(x)]=x^{10}+x^{8}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1\)

基本知识

BCH 码是用于校正多个随机错误模式的多级、循环、错误校正、变长数字编码,是迄今为止所发现的一类很好的线性纠错码类。它的纠错能力很强,特别在短和中等码长下,其性能接近于理论值,并且构造方便,编码简单。特别是它具有严格的代数结构,因此它在编码理论中起着重要的作用。

BCH码是循环码的一个子类,他的纠错能力是通过:先声明期望码能纠错随机错误的的个数,然后再构造这样的码生成多项式。

如果一个域F仅具有有限多个元素,比如仅有q个元素,这样的域称为有限域或称之为伽罗瓦域,记为GF(q)。

\(GF(2^{m})\)的构成

可以将\(GF(p)\)延伸为一个含有\(p^{m}\)个元素的域,称为GF(p)的扩展域,表示为\(GF(p^{m})\)

由这个我们就可以知道二进制域\(GF(2)\)是扩展域\(GF(2^{m})\)的一个子域,类似于实数域是复数域的一个子域一样。除了数字0和1之外,在扩展域中还可以用a来表示特殊元素,\(GF(2^{m})\)中任何非0元素都可由a的幂次表示。这样\(GF(2^{m})\)的元素可表示为\(GF(2^{m})={0,a^{0},a^{1},a^{2},.........a^{2^{m}-2}}\)

系数取自GF(2)上的(m-1)次多项式,即

\[a(\alpha)=a_{0}+a_{1}\alpha+...+a_{m-1}\alpha^{m-1}

\]其中\(a_{i}\in GF(2),i=0,1,2...m-1\)。这些多项式的总数正好等于\(2^{m}\)。我们希望能将这些数据作为\(GF(2^{m})\)上的元素,这些元素可以通过多项式或者是m维二元矢量进行表示。

举一个例子,m=4时,对于\(GF(2^{4})\)的16个元素可以如下表所示:

接下来引入\(GF(2^{m})\)中元素间的加法和乘法运算,系数之间的运算采用模2运算。

先来看加法

\(m(\alpha)=1+\alpha+\alpha^{3}\)---->1101

\(n(\alpha)=1+\alpha^{2}​\)----------->1010

则\(m(\alpha)+n(\alpha)=(+\alpha+\alpha^{3})+(1+\alpha^{2})=\alpha+\alpha^{2}+\alpha^{3}\)

------>0111

但是当我们在乘法的时候,就会有问题:

\(m(\alpha)*n(\alpha)=1+\alpha+\alpha^{2}+\alpha^{5}\)

超过了最高次数项,必须把它简化为小于等于3的多项式。如何才能简化?可以通过令\(\alpha\)是某个4次多项式\(\pi(x)\)的根。在上述的例子里,我们可以令\(\alpha\)为\(\pi(x)=1+x+x^{4}\)的根,即\(\alpha^{4}=1+\alpha\)

从而

\[\begin{eqnarray}m(\alpha)*n(\alpha)&=&1+\alpha+\alpha^{2}+\alpha^{5}\\&=&1+\alpha+\alpha^{2}+\alpha(1+\alpha)\\&=&1 \end{eqnarray}

\]即(1101)*(1010)=(1000).这样用多项式表示\(GF(2^{4})\)元素对于多项式乘法是封闭的。

我们总结一下,如果需要生成有限域\(GF(2^{m})\),则\(\pi(x)\)必须是m次多项式。这里的\(\pi(x)\)必须是\(GF(2)\)上的既约多项式(\(\pi(x)\)在\(GF(2)\)上不能进一步因式分解,或者说\(\pi(x)\)没有次数小于m-1,系数在\(GF(2)\)上的多项式作为因式)

关于GF域有以下几个定理:

1.如果\(\pi(x)\)是\(GF(2)\)上次数等于m的既约多项式,则对\(GF(2)\)上每个次数小于m的多项式c(a)存在唯一的逆元:\(c^{-1}(a)\in GF(2^{m})\)

2.令\(\lambda\)为\(\sum_{i=1}^{t}1=0\)成立的最小整数t(这里的1为单位元素),该\(\lambda\)称为有限域\(GF(q)\)的特征,该特征一定是质数。

循环码的定义和多项式表示

一个二元n维矢量\(v=(v_{0},v_{!},...,v_{n-1})\),若把它的分量循环向右一位,则得到另一个n维矢量\(v^{(1)}=(v_{n-1},v_{0},v_{1},.....v_{n-2})\),这里把\(v^{(1)}\)称为v的循环移位。

一个(n,k)线性码l,若它的每个码字矢量的循环移位也是该码的码字,则称l为循环码。我们可以把码字矢量\(v=(v_{0},v_{!},...,v_{n-1})\)看成是如下的多项式:

\[v(x)=v_{0}+v_{1}x+v_{2}x^{2}+....+v_{n-1}x^{n-1}=\sum_{j=0}^{n-1}v_{j}x^{j}

\]其中系数\(v_{j}\in {0,1}\),\(v_{j}x^{j}\)实际上只是表示这个矢量v的第j+1位分量是\(v_{j}\),因此\(x^{j}\)是位置算子。

每个码字矢量与一个不高于n-1次的多项式对应,于是与\(v^{1}\)对应的多项式为:\(v^{1}(x)=v_{n-1}+v_{0}x+....+v_{n-2}x^{n-1}\)

观察\(v(x)\)与\(v^{1}(x)\)的关系可得:\(x*v(x)=v^{1}(x)+v_{n-1}(x^{n}+1)\)(二元计算中+1和-1是等价的,所以将-1换成了+1);进一步我们可以总结出:\(v^{1}(x)\equiv x*v(x)mod(x^{n}+1)\)

意思是说\(v^{i}(x)\)等于x与v(x)的乘积后再除以\(x^{n}+1\)以后的余式。

假如我们现在有一个n-k循环码的生成多项式:\(g(x)=1+x^{2}+x^{4}\),则生成的(6,2)循环码的码字矢量和码字多项式如下:

消息矢量

码字矢量

码字多项式

\((u_{0},u_{1})\)

\((v_{0},v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5})\)

(0,0)

(0,0,0,0,0,0)

\(v_{0}(x)=0*g(x)=0\)

(0,1)

(1,0,1,0,1,0)

\(v_{1}(x)=1*g(x)=g(x)\)

(1,0)

(0,1,0,1,0,1)

\(v_{2}(x)=x*g(x)=x+x^{3}+x^{5}\)

(1,1)

(1,1,1,1,1,1)

\(v_{3}(x)=(x+1)*g(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}\)

根据循环码的定义(循环移位后仍然是在这个循环码内的码字)知道,((000000),(01010101),(10101010),(111111))是循环码。消息矢量可以看成是代表的k位消息数据比特,在这个例子里是2.

给出一个定理:若g(x)是n-k次多项式,而且是\(x^{n}+1\)的因式,则g(x)生成一个(n,k)循环码。

有限域的本原多项式

一个多项式是本原多项式的充要条件:一个m阶的不可约多项式f(x),如果f(x)整除\(x^{n}+1\)的最小正整数n满足\(n=2^{m}-1\),则该多项式是本原的。

例如用本原多项式\(p(x)=1+x+x^{3}\)来构造GF(8),设GF(8)上的本原元为a,通过将a的幂模p(a)得到GF(8)上的所有元素:

极小多项式

系数定义在基域\(GF(q)\)上且在扩展域\(GF(q^{m})\)上有根\(\beta _{j}\)的最小次数多项式称为\(\beta_{j}\)的极小多项式。

设\(b_{1},b_{2}...b_{p-1}\)为GF(p)上的非零域元素,则\(x^{p-1}+1=(x+b_{1})(x+b_{2})...(x+b_{p-1})\)

从上面的循环码知识我们知道,为了找到分组长度为n的循环码的生成多项式,首先分解\(x^{n}+1\),因此\(x^{n}+1\)可以表示为多个因子的乘积,即\(x^{n}+1=f_{1}(x)f_{2}(x)....f_{w}(x)\)

在扩展域\(GF(p^{m})\)中,\(n=p^{m}-1\)

编码

对于一个分组长度\(n=p^{m}-1\)、确定可纠正t个错误的BCH码的生成多项式的步骤如下:

1.选取一个次数为m的素多项式并构造\(GF(p^{m})\)

2.求\(a^{i},i=0,1,2...n-2\)的极小多项式\(f_{i}(x)\)

3.可纠正t个错误的码的生成多项式为:

\[g(x)=LCM[(f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x).....f_{2t}(x)]

\]d=2t+1称为码的设计距离,一旦确定了n和t,我们便可以确定BCH码的生成多项式。

表中第2列是第3列多项式的根。

然后用生成多项式,按照生成循环码的方式生成的就为BCH码。

实现

bch_n=15 # (n,k)中的n

bch_k=5 # (n,k)中的k

bch_c=bch_n-bch_k

g=[1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1] # 这个要自己计算

def encode(origin_data):

zero=[0]

bb=[]

bb.extend((bch_c)*zero)

for i in range(bch_k):

freeback=origin_data[i]^bb[0]

if freeback!=0:

for j in range(bch_c-1):

if g[j]!=0:

bb[j]=bb[j+1]^freeback

else:

bb[j]=bb[j+1]

bb[bch_c-1]=g[bch_c-1]&freeback

else:

for j in range(bch_c-1):

bb[j]=bb[j+1]

bb[bch_c-1]=0

return bb

def main():

origin_data=[1,0,0,1,1]

print("Word to be encoded:")

print(origin_data)

data=[]

data=encode(origin_data)

print("Encoded it is:")

print(data)

main()

作者:YunLambert

出处:http://www.cnblogs.com/yunlambert/

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2019-01-17 20:43 

MrYun 

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